20xx年五套數學競賽題附答案-資料下載頁

　　

【正文】 f（x）的實義域為R，其圖象關于點（﹣1，0）中心對稱，其導函數為f′（x），當x＜﹣1時，（x+1）[f（x）+（x+1）f′（x）]＜0．則不等式xf（x﹣1）＞f（0）的解集為（　　）A．（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【分析】由題意設g（x）=（x+1）f（x），求出g′（x）后由條件判斷出符號，由導數與函數單調性的關系判斷出g（x）在（﹣∞，﹣1）上遞增，由條件和圖象平移判斷出：函數f（x﹣1）的圖象關于點（0，0）中心對稱，由奇函數的圖象可得：函數f（x﹣1）是奇函數，令h（x）=g（x﹣1）=xf（x﹣1），判斷出h（x）的奇偶性和單調性，再等價轉化不等式，求出不等式的解集．【解答】解：由題意設g（x）=（x+1）f（x），則g′（x）=f（x）+（x+1）f′（x），∵當x＜﹣1時，（x+1）[f（x）+（x+1）f′（x）]＜0，∴當x＜﹣1時，f（x）+（x+1）f′（x）＞0，則g（x）在（﹣∞，﹣1）上遞增，∵函數f（x）的定義域為R，其圖象關于點（﹣1，0）中心對稱，∴函數f（x﹣1）的圖象關于點（0，0）中心對稱，則函數f（x﹣1）是奇函數，令h（x）=g（x﹣1）=xf（x﹣1），∴h（x）是R上的偶函數，且在（﹣∞，0）遞增，由偶函數的性質得：函數h（x）在（0，+∞）上遞減，∵h（1）=f（0），∴不等式xf（x﹣1）＞f（0）化為：h（x）＞h（1），即|x|＜1，解得﹣1＜x＜1，∴不等式的解集是（﹣1，1），故選C．【點評】本題考查導數與單調性的關系，偶函數的定義以及性質，函數圖象的平移變換，以及函數單調性的應用，考查轉化思想，構造法，化簡、變形能力．　2017年上海市高三數學競賽一，填空題：（本大題滿分60分，前4小題每小題7分，后4小題每小題8分）1， 函數的定義域是________,值域是_________.2， 數列是遞增數列，滿足：，，而且，則數列通項公式=__________.3，用一張正方形紙片（不能剪裁）完全包住一個側棱長和底邊長均為1的正四棱錐，則這個正方形的邊長至少是___________.4，一個口袋中有10張卡片，分別寫著0,1,2，，， 9，從中任意連續取出4張，按取出的順序從左到右組成一個四位數（若0在最左邊，則該數視作三位數），則這個數小于2017的概率是________.5，設=___________.6，設集合，滿足，則這樣的子集A共有___________個。7，在直角坐標系中，已知點，若線段AB（包括端點A,B）在圓C的外部，則實數a的取值范圍是_________.8， 一串“十”，“一”號排成一行，從左往右看，就會產生“變號”。例如：十十一十一一十，其中有4次“變號”若有10個“十”號與6個“一”號排成一行，產生7次“變號”，則這種排列共有________種.二，解答題：（本大題滿分60分，每題15分）9，已知數列的各項均為正實數，而且對于一切正實數，均有（1）證明：數列的每一項都是完全平方數；（2）證明：10， 給定正實數,若復數的值。11，求滿足的所有正整數12，將5X5矩陣的每個元素都取成1,2,3,4,5這五個數之一，要求每行的5個元素互不相等，而對任意相鄰兩行，掐存在一個，使得這兩行在第k列上的元素相等。此時，若矩陣中存在某一列上相鄰的3個元素相等，則稱該矩陣為“有趣的”；否則，若任意一列上都不出現相鄰的3個元素相等，則稱該矩陣為“無趣的”；試比較有趣的矩陣的個數與無趣的矩陣的個數的大小。參考答案一，填空題1，【答案】【解析】求定義域：，求值域：2,【答案】【解析】（方法1）找規律+數學歸納法/代入檢驗計算可得：n11241632549464100，，，，，，歸納得:（數學歸納法證明/代入檢驗略）。（方法2）嚴格推導（注意舍去增根）原方程變形可得：由求根公式得：開方可得：計算可得：由已知數列是遞增數列，所以當進而，（小跟不滿足“數列是遞增數列”因此舍去）可證數列從第三項開始等差數列，驗證可得前兩項也符合，本題有兩解。3，【答案】【解析】將正四棱錐的四條側棱剪開，把四個側面分別沿著各自的底邊翻折下來，使得四個側面等邊三角形和底面等邊三角形和底面四邊形共面，那么能包住此“側面展開圖”圖形的最小正方形即符合題意。4,【答案】【解析】分類討論：第一位是0，第一位是1，第二位是2（2013~2016）。5, 【答案】【解析】（方法一）運用數列“逆序求和法”記則兩式相加可得：,可得原式的值為（方法二）嚴格推導（三角函數+數列分組求和法）綜上，原式6， 【答案】165【解析】窮舉法。對于的值分類討論：，符合題意的子集A共有：7, 【答案】【解析】（方法一）數形結合+分類討論1）2） 若在第三象限，此時只需點A在圓C外即可符合題意；（恒符合題意）3） 若在第四象限，而且在線段AB的正下方。此時只需圓C的半徑即可符合一；解得；4） 若在第四象限。此時只需點B在圓C外即可符合題意；解得綜上所述，實數a的取值范圍是（方法二）轉化成不等式恒成立的問題+分類討論在線段AB上任取一點由題意，點P恒在圓C外，因此：恒成立。對實數a的值分類討論可得：1） 如果，原不等式恒成立，符合題意；2） 如果）若恒成立，符合題意；）若時該不等式不成立，舍去；3）如果）若，分子有理化可得：，對任意恒成立，符合題意；）若對任意恒成立。綜上所述，實數的取值范圍是8, 【答案】672【提示】由于是否變號僅看“十”，“一”號是否從左向右交替出現。考慮“一”號有幾組（連續的“一”號算一組，用【一】表示）：要產生7次“變號”，必須出現4組“一”號，與“十”號組（用【十】表示）的相對位置有如下兩種情況：（1）【一】【十】【一】【十】【一】【十】【一】【十】（2）【十】【一】【十】【一】【十】【一】【十】【一】將6個“一”號分成4組，亦有兩種情況：（3+1+1+1），（2+2+1+1）1）———【十】【一】【十】【一】【十】【一】【十】由插杠法可得：2)—【十】【一】【十】【一】【十】【一】【十】由插杠法可得：3)【十】【一】【十】【一】【十】【一】【十】———由插杠法可得：4）【十】【一】【十】【一】【十】【一】【十】—由插杠法可得：綜上所述，共有2（84+252）=672種二，解答題9， 【解析】證明：（1）當；兩式相減可得：；換元法設；又，由易知：對于任意,恒有：數列單調遞增，而且每一項都是正整數。所以對于任意,數列的每一項都是正整數，而，所以數列的每一項都是完全平方數，得證。（2）由可得：，易證書列，為公比的等比數列，可得，可得：，易證數列，即。故綜上所述，10，【答案】【解析】（方法一）數形結合復數（模）的幾何意義+解析幾何軌跡方程由已知，；設復數z在在復平面內對應的點是消t可得，（原點除外）；由已知的最大值是2，說明：在復平面內點的距離的最大值是2，可知：內切。列式得（方法二）復數的四則運算，模公式+求分式函數值域由已知，；所以對參數的值分類討論可得：1）2）如果3）如果由基本不等式可得：（當且僅當時取等號）進而；取倒數可得：；故；所以；綜合1）2）3）可知11， 【答案】【解析】去分母可得：解三角方程可得：或者化簡得：。前者由于所以反表示可得：；當且僅當是非負整數，即（其余情況可以用余數定理來判斷均不符合題意，過程略）綜上所述，所求正整數12,【答案】【提示】對于同一列上相鄰的相等元素的個數展開分類討論：1） 同一列上相鄰的5個元素相等：2）同一列上相鄰的4個元素相等：（分成R1~4和R2~5兩種情況，種數相等）。3）同一列上相鄰的3個元素相等：（分成僅四種情況，前兩種情況的種數相等）。 。4)任意一列上都不出現相鄰的3個元素相等：（即“無趣的”矩陣的個數）【解】用總數減去上述1），2），3）的情況數綜合1）2）3）4）可得：2017年全國高中數學聯合競賽一試（A卷）一，填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分1. 設是定義在R上的函數，對任意實數有又當，則的值為__________.2. 若實數滿足，則的取值范圍是___________.3. 在平面直角坐標系中，橢圓C的方程為，F為C的上焦點，A為C的右頂點，P是C上位于第一象限內的動點，則四邊形OAPF的面積最大值為____________.4. 若一個三位數中任意兩個相鄰數碼的差均不超過1，則稱其為“平穩數”.平穩數的個數是__________.5. 正三棱錐將其面積平分，則棱PC與平面所成角的余弦值為________.6. 在平面直角坐標系中，則這三個點中存在兩點之間距離為的概率為_________.7. 在△ABC中，M是邊BC的中點，,△ABC的面積為，則的最小值為________.8. 設兩個嚴格遞增的正整數數列，對任意整數n,有，二，解答題：本大題共三小題，證明過程或演算步驟9. （本題滿分16分）設k,m為實數，不等式成立。 證明：10. （本題滿分20分）設是非負實數，滿足求的最小值和最大值.11. （本題滿分20分）設復數（其中表示復數的實部）. （1） （2）求參考答案及解析一，填空題：1. 【答案】【解析】由條件知，所以2. 【答案】【解析】由于，故，由可知，.因此當時，有最小值1（這時）；，從而3. 【答案】【解析】：其中4. 【答案】75【解析】考慮平穩數綜上可知，平穩數的個數是2+6+63+4=755. 【答案】【解析】設AB,PC,的中點分別為K,M，則易證平面ABM就是平面，由中線長公式知所以又易知直線PC在平面上的射影是直線MK，而CM=1，,所以故棱PC與平面所成角的余弦值為6. 【答案】【解析】易知K中有9個點，故在K中隨機取出三個點的方式數為種.將K中的點按右圖標記為,，考慮取兩點的情況，則剩下的一個點有7種取法，這樣有個三點組（不計每組中三點的次序）.對每個兩點與之距離為（這里下標按模8理解），因而恰有這8個三點組被計了兩次，從而滿足條件的三點組個數為568=48，進而所求概率為7. 【答案】【解析】由條件知，,故由于，進一步可得,從而8. 【答案】13,20【解析】有條件可知：均為正整數，且，由于，故.反復運用的遞推關系知因此而， ①另一方面，注意到 ②得到唯一的正整數，得到唯一正整數，此時綜上所述，的所有可能值為13,209. 【證明】 ……………………4分 ……………………16分10.【證明】解：由柯西不等式時不等式等號成立，故欲求的最小值為1， ……………………5分因為時不等式等號成立，故欲求的最大值為.………………20分11，【答案】解：（1）對因此又當 ……………………5分（2）對對應到平面直角坐標系關于軸的對稱點，則.設根據雙曲線定義，有，進而得………………15分等號成立當且僅當綜上可知， ……………………20分